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社区QQ达人 考研VIP 版主勋章 Medal No.5 有头有脸

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发表于 2015-8-3 10:05:50 |只看该作者 |正序浏览
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微积分如果用心去学你会发现很多乐趣,然后在解题的过程享受这些小小的成就感,何乐而不
为呢。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。


  ▶被积函数是连续函数f(x)的积分上限函数F(x)可导,且导数就是f(x)。
  逆向思维,这就用“构造法”证明了:连续函数一定有原函数。
  把“作上限函数”视为一种变换方式,从条件角度看,相当于通过变换将连续函数提升为
可导函数。《广义函数》理论中,在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施这样的变换,就
好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。
  当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大的集训中,他将这套技术
学得很精。正式参加世界大赛时,决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小
子设计了“磨光变换”逼近列,很快地完成了解答。自信无误之际,竟在草稿上画卜克游戏玩
。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时,记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”,好
不吓人哦。
  这里有一个有趣的联想。如果f(x)仅有第一类间断,那么相应的上限函数是否一定连续
呢?
  结论是,“相应的上限函数一定连续。”
  (画外音:考研题中出现过一次。)
  在《概率统计》中,连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续
。由于密度函数非负,证明这个结论,用连续的增量定义最简明。
  要注意的是,设f(x)有跳跃间断点a,相应的上限函数在点a虽然连续,却一定不可导。
即改善是有一定限度的。
  要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。
  实际上,设点a左側,f(x)=初等函数φ(x),右侧f(x)=ψ(x),φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳
跃间断。记f(x)相应的上限函数为F(x),则F(x)在点a连续,但是
  左側求导F′(x)=φ(x),右側求导F′(x)=ψ(x),φ(x-0)≠ψ(x+0)
  F(x)在点a不可导。
  在点a的邻域内,F(x)不是f(x)的原函数。
  相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。
  ▶《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础

  比如,计算D(卡方(1))就是个大综合练习。
  (潜台词:D(卡方(n))=2n)
  预备1——我们知道,exp(x2)是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的
密度函数与它同为一家,但是密度函数在全直线积分为1。在历史上,人们曾利用这个特点及
定积分技巧来计算一些无穷积分。
  计算D(卡方(1)),最尾端就要用到它。
  预备2——我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在(5)中有一条
  “x趋于+∞时,指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
  或者说,“x趋于+∞时,函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。”
  预备3——分部积分的要点是“变化”
  ∫甲·乙dx=(甲的一个原函数)·(乙)-∫(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx
  设X服从标准正态分布,我们计算D(X2),即证明D(卡方(1))=2
  鉴于输入问题,我写出步骤,大家在纸上划一下
  (1)用平方关系来算D(X2),得先算均值E(X四次方)
  设f(x)是N(0,1)的密度函数,求E(X四次方),被积函数x四次方f(x)在全直线积分
  分x四次方f(x)=x3·xf(x),注意xf(x)的原函数恰是-f(x)
  分部积分一次,求极限知第一部分答案为0,(运用预备2)
  第二部分是3x2f(x)在全直线积分
  再分x2f(x)=x·xf(x),又分部积分,同样求极限知第一部分答案为0,
  第二部分已是3倍密度函数f(x)在全直线积分,当然为3
  (2)用平方关系来算
  我常常开玩笑把平方关系E(X2)=μ2+σ2称为“概率勾股定理”。
  D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2
  怎么样,有点意思吧。
  ▶如果你作了一个假设,你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设,
那得小心思考,新的假设是否与第一个假设独立。
  一个同学在论坛上发贴,先设“对任意x,总有f(x)>x”,推出“f(f(x))>f(x)
”,突然又假设“f(x)单减”,然后就不明白,“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑,随
意作第二个假设造成的。
  数学历史上,正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际,“悖论
”的出现给大家当头一棒,砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功
的“公理化假设”也提出怀疑:“是否在筑好篱笆之时,已经圈进了狼?”
  思考“第二假设是否与第一个假设独立”,有时的确较为困难。
  看一个线性代数问题。
  (讲座(40))例15设n维行向量组a1,a2,---,ak线性无关,k<n,以它们为系数作
有k个方程的齐次线性方程组。若向量β是这个方程组的非零解。试证
  向量组a1,a2,---,ak,β线性无关。
  例15是原数学四的考题。它可以深化为,
  *例“设向量组β1,β2,---,βr线性无关,向量组ξ1,ξ2,---,ξk线性无关。若前一向
量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。(暂时不写
一个条件)
  证明设有一组数C1,……,Cr,Cr+1,……,Cr+k,使得
  C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0
  用β1对等式两边作内积,得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0
  用β2对等式两边作内积,得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0
  …………
  用βr对等式两边作内积,得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0
  现在,问题归结为,证明这个齐次方程组仅有零解。
  问题延伸1,若记A=(β1,β2,---,βr),则系数矩阵恰为AˊA
  (潜台词:矩阵乘法,“左行右列作内积”)
  问题延伸2,秩R(A)=秩R(A′A)
  证明作齐次线性方程组AX=0和A′AX=0,AX=0的解显然都是A′AX=0的解。
  如果列向量β是A′AX=0的解,则
  内积(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0
  这说明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。两方程组同解。
  解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)
  前述关于C1,……,Cr的齐次方程组仅有零解。带回假设式,由后一向量组的线性无关性
知,其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。
  (画外音:这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色。)
  好象什么问题都没有?!?!?!联想“n+1个n维向量线性相关”,这里还有向量个数问
题。在没有限定向量个数时,第二个假设,“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向
量正交”,不一定成立。必须先说“k+r≤n”
  这个条件不影响证明。
  有点复杂。不算太难。内涵丰富,慢慢体会。

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