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标题: 数学复习之理解力：知其所以然才能举一反三 [打印本页]

作者: 郑大考研网 时间: 2015-5-16 09:51
标题: 数学复习之理解力：知其所以然才能举一反三
　上篇文章我们提到推导过程对数学方法和处理方式的运用，这是当然是解题必备，另外，如果细心的同学就会注意到，通过这个推导过程，我们还能得到一元二次方程中一个非常重要的式子——根的判别式。在此文章中，跨考教育马燕老师继续和大家深入探讨。

　　回到之前的配方式，(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(4a^2)。在实数域内，等式左边表示是一个实数的平方，我们都知道一个实数的平方一定是一个非负数，但是等式右边关于系数a、b、c的式子算出来的数并不一定是非负数，如果是一个负数的话，该等式在实数域内是不可能成立的，意味着该方程无根；如果等式右边是零的话，就意味着x+b/2a只能为零，该方程只有一个根x=-b/2a(或者说两个相等的实数根)；若等式右边是一个正数，x+b/2a是可以等于两个不同的值的，即该方程有两个根。上述一直在讨论根的个数的问题，也就是一元二次方程的根的个数是需要由等式右边(b^2-4ac)/(4a^2)的正负来决定的。

　　此时，又出现了另外一个问题，初中数学中根的判别式并不是这个分式，而只有该分式的分子，即判别式=b^2-4ac，这又是为何呢？不难发现，我们得到的这个分式的分母4a^2在a不等于0的时候一定是大于零的数，因此整个分式的正负直接由其分子决定，即判别式只需等于b^2-4ac即可判定一元二次方程根的个数。这就跟我们初中的记忆重叠在一起了，根的判别式b^2-4ac大于零时，方程有两个不同的实数根；等于零时，方程有两个相等的实数根；小于零时，方程无实数根。当然，这只是在实数域内讨论问题，若将数域扩充到复数域，这将意味着小于零的时候，方程是有两个虚根的。管综数学基础的考试数域是实数域，因此不需要考虑虚根的情况。

　　不仅仅如此，我们知道了公式是怎么来的，知道它怎么用，还需要研究该公式能有什么样的变形，将其扩展，使其应用的更广泛。

　　当方程有两个不相等的实数根时，如果对两根进行加法运算，将会得到一个很重要的数学式子，即两根之和=-b/a;另外还可以对其进行乘法运算，就得到另外一个重要式子即两根之积=c/a。这两个等式都在讨论根与系数的关系，也就是我们在初中学习的韦达定理。那我们就可以注意到，韦达定理是对两根进行求和、求乘积的运算，其前提必定是方程必须有根，因此大前提就是用韦达定理，方程的判别式必须大于等于零。那么，在满足这个前提条件时，韦达定理有着怎样的应用呢？

　　韦达定理既是将方程的根和方程的系数结合在一起，那么在根与系数关系判定中就起到很大的作用。它的第一个应用就是求值问题，当已知条件是一个一元二次方程，所求代数式比较复杂，且是关于两根的，就可以将所求代数式转化为与两根之和、两根之积有关系的代数式，直接利用韦达定理整体带入求值即可；第二个应用就是根的正负问题了，在判别式大于等于零的前提下，利用两根之和、两根之积的正负来确定两根的正负，此方法有效避免了解分式不等式的繁琐步骤，大大提升解题速度。这也是管综数学基础考试中考查的重点之一。

　　现在知道了方程的求根推导过程，也知道了其变形式韦达定理是怎样得到的，就不必刻意去记忆此公式了。如果只是单纯记住公式的话，应用的灵活度方面将会有很大的局限性了。

　　总之，大家在学习数学知识时，不仅要知其然，更要知其所以然，对其来龙去脉了解清楚，在理解过程中不仅仅能达到记忆的目的，更能灵活应用，这才是数学的学习王道。

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